Dada uma esfera de raio R, determine as dimensões do cone reto de volume máximo que pode ser nela inscrito.

O volume de um cone é dado por: , sendo pois uma função de sua altura h e do raio da base r.

Da figura, podemos observar que:

de onde temos que .

Logo, o volume V do cone pode ser escrito como uma função apenas da variável h:

, para .

Vamos estudar agora a função V e procurar seu ponto de máximo.

Temos:

de onde,

uma vez que, evidentemente, h não é nulo.

Dessa forma, é ponto crítico para a função V.

Esse ponto é o ponto de máximo local para a função V, pois:

se então e, portanto, V é estritamente crescente;

se então e, portanto, V é estritamente decrescente.

Esse ponto é um ponto de máximo global para a função V no intervalo , pois a função V não muda seu comportamento com relação ao crescimento/decrescimento nesse intervalo.

Quando o raio do cone inscrito na esfera pode ser determinado, uma vez que .

Daí encontramos que , ou seja, .