Determine o retângulo de área máxima inscrito em um semicírculo, de forma que um de seus lados esteja sobre o diâmetro.

Sendo r o raio da circunferência, sejam a e b os lados do retângulo inscrito na semicircunferência.

Sabemos que a área do retângulo é .

Porém, pelo Teorema de Pitágoras,

,

ou seja, , e, portanto temos:

que é função apenas da variável b, para .

Observação: Se b=0 ou b=r, temos retângulos "degenerados".

Vamos estudar agora a função

,

para encontrar seu ponto de máximo.

Temos:

ou seja,

isto é é ponto crítico para a função A.

Esse ponto é um ponto de máximo local para a função A, pois:

se então e, portanto, A é estritamente crescente;

se então e, portanto, A é estritamente decrescente.

Esse ponto é o ponto de máximo global para a função A no intervalo ]0,r[, pois a função A não muda seu comportamento com relação ao crescimento/decrescimento nesse intervalo.

Substituindo em , temos:

.

Assim as dimensões e , fornecem o retângulo de área máxima.