Quais as dimensões do cone de volume mínimo que pode ser circunscrito a uma esfera de raio R?

O volume de um cone é dado por: , sendo uma função de sua altura h e do raio da base r.

Da figura, temos que:

Os triângulos AOB e ADC são semelhantes, pois ambos têm um ângulo reto e o ângulo de vértice em A é comum.

Logo,

ou seja,

o que significa que

Conseqüentemente, para h >2R, temos:

.

Logo:

de onde,

uma vez que, evidentemente, h é não nulo.

Assim, h=4R é ponto crítico para a função V.

Esse ponto é o ponto de mínimo local para a função V, pois:

se então e, portanto, V é estritamente decrescente;

se então e, portanto, V é estritamente crescente.

Esse ponto é um ponto de mínimo global para a função V no intervalo , pois a função V não muda seu comportamento com relação ao crescimento/decrescimento nesse intervalo.

Quando h=4R o raio do cone circunscrito na esfera pode ser determinado, uma vez que .

Daí encontramos que , ou seja, .