Dada uma esfera de raio R, determine as dimensões do cone reto de área lateral máxima que pode ser nela inscrito.

A área lateral de um cone é a área de um setor circular, cujo arco tem comprimento 2pr e cujo raio tem medida . Logo, como a área do setor é igual ao semiproduto do raio pelo comprimento do arco determinado pelo setor, a área lateral do cone é dada por:

que é uma função de h e r.

Como , temos:

,

que descreve a área da superfície lateral do cone de altura h, inscrito na esfera de raio R dado.

Vamos estudar agora a função A, de uma variável h, para , e procurar seu ponto de máximo.

Temos:

de onde,

ou seja

é ponto crítico para a função A.

Esse ponto é o ponto de máximo local para a função A, pois:

se então e, portanto, A é estritamente crescente;

se então e, portanto, A é estritamente decrescente.

Esse ponto é um ponto de máximo global para a função A no intervalo , pois a função A não muda seu comportamento com relação ao crescimento/decrescimento nesse intervalo.

Quando o raio do cone inscrito na esfera pode ser determinado, uma vez que .

Daí encontramos que , ou seja, .