
Sendo f uma função
derivável
e seja um ponto de seu domínio. Sabemos encontrar
a reta tangente ao gráfico de f passando pelo ponto :

Assim, fixado o ponto , a curva fica muito
perto da reta tangente nas proximidades do ponto de tangência. Isso
significa que, para x suficientemente próximo de , o valor de f(x) estará próximo do valor da ordenada
do ponto de mesma abscissa x mas que se encontra na reta tangente.
Dessa maneira, a derivada
de uma função nos permite resolver problemas de cálculos
aproximados. Vejamos como.
 
 
 
 
ln 3 
 
Em todas as situações
acima, observamos que há uma função f envolvida,
que é derivável em um ponto de seu domínio
e tal que é um valor conhecido. O problema é
o de determinar o valor de
para um valor
"próximo" de .
Na figura abaixo, podemos
observar uma ampliação da situação geral descrita
acima.

Assim, quando
é "pequeno", obtemos uma aproximação "razoável",
por falta ou por excesso, dependendo do caso, para o valor de .
Essa aproximação é dada por:

de onde podemos escrever

Fixado x, podemos
olhar a função
linear que, a cada ,
associa ,
onde

Uma
função linear é uma função do tipo
f(x)=ax, ou seja, é tal que seu gráfico é uma reta
que passa pela origem.
Tal função
é denominada a diferencial de f em x.
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