Vimos que:

se e que, se .
É possível provar que se f(x)=x²+k, onde k é uma constante, então f'(x)=2x. Qual o significado desse fato?

Se então . É possível generalizar esse fato, ou seja, se , onde k é uma constante, então ?

De modo geral, se f(x)=h(x)+k, onde k é uma constante, então a derivada de f coincide com a derivada de h, em todo ponto em que h for derivável.

Conclusão: Dada uma função h, qualquer outra função f, cujo gráfico é obtido a partir do gráfico de h através de uma translação vertical, isto é, f(x)=h(x)+k, onde k é uma constante, tem derivada em todos os pontos em que h for derivável e, mais ainda, . Isso significa que em cada as retas tangentes aos gráficos de f e h têm o mesmo coeficiente angular, isto é, são paralelas.

Dada f₁(x)=(x+1)², temos f'₁=2.(x+1).

Se então . É possível generalizar esse fato, ou seja, se , onde m é uma constante, então ?

De modo geral, sendo h uma função derivável, se f(x)=h(x+m), onde m é uma constante, então a derivada de f em cada x, coincide com a derivada de h, calculada em x+m.

Conclusão: Dada uma função h, qualquer outra função f, cujo gráfico é obtido a partir do gráfico de h através de uma translação horizontal, isto é, f(x)=h(x+m), onde m é uma constante, tem derivada em todos os pontos em que h for derivável e, mais ainda, . Isso significa que em cada , as retas tangentes aos gráficos de f e h, nos pontos de abscissa x e x+m, respectivamente, têm o mesmo coeficiente angular, isto é, são paralelas.

Dada , então .

Se então . É possível generalizar esse fato, ou seja, se , onde a é uma constante, então ?

De modo geral, sendo h uma função derivável, se f(x)=a.h(x), onde a é uma constante, então a derivada de f em cada x, é igual à derivada de h, multiplicada pelo fator a.

Conclusão: Dada uma função h, qualquer outra função f, cujo gráfico é obtido a partir do gráfico de h através de uma mudança de inclinação, isto é, f(x)=a.h(x), onde a é uma constante, tem derivada em todos os pontos em que h for derivável e, mais ainda, . Isso significa que em cada , as retas tangentes aos gráficos de f e h guardam entre si a seguinte relação: o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de h multiplicado por a. Assim, quando a curva sofre mudança de inclinação, a reta tangente também sofre essa mudança, segundo o mesmo fator.

Sendo , a derivada g' é dada por .

Sendo h(x)=x², definida para x não negativo, a inversa da função g da Situação 10, é possível relacionar a derivada de h com a derivada de g.

A Situação 11 pode ser generalizada para duas funções que são uma a inversa da outra.

Conclusão: Dada uma função f derivável, com derivada diferente de zero, sendo g sua inversa, com , temos que os gráficos de f e g são simétricos em relação à reta y=x. Então a derivada de g em f(x) é igual ao inverso da derivada de f em x.