Calculando, pela definição, a derivada da função f(x)=ln x, temos:

Portanto, , para todo x>0.
Assim, sendo f(x)=ln x, encontramos que , para todo x>0.

Sendo g a função inversa de f, g(x)=e^x, definida para todo x real,

sabemos que:

Logo, a derivada da função exponencial de base e coincide com ela própria.